Consideram numarul [latex] 2^{n} [/latex]. (n∈Z) -daca n≥0 => [latex] 2^{n} [/latex]≥1. De aici rezulta ca [latex] x^{2} -2y [/latex] si [latex] y^{2} -2x [/latex] nu pot fi naturale. -daca n<0, atunci [latex] 2^{n} [/latex]∈{[latex] frac{1}{2} ; frac{1}{4} ; frac{1}{8}... [/latex]} Din aceasta observatie se va constata ca [latex] 2^{ x^{2} -2y} = 2^{ y^{2} -2x} = frac{1}{2} [/latex]. (Este firesc ca niciunul dintre ei nu poate fi mai mic decat [latex] frac{1}{2}[/latex], caci in acest caz celalalt termen ar fi mai mare decat [latex] frac{1}{2} [/latex]-ceea ce este imposibil). Asadar, rezulta: [latex] x^{2} -2y= y^{2} -2x=-1[/latex] [latex] x^{2} -2y= y^{2} -2x <=> \ <=> x^{2} - y^{2}=-2x+2y <=> \ <=>(x+y)(x-y)=-2(x-y). [/latex]. De aici reies 2 cazuri: I. x=y  II. x+y=-2 Pentru primul caz notam a=x=y. [latex] x^{2} -2y=-1 <=> a^{2}-2a=-1<=> a^{2} -2a+1=0 <=> (a-1)^{2}[/latex][latex]=0 => a-1=0 => a=1[/latex]. Deci x=y=1. Din al doilea caz rezulta x=-2-y. [latex] y^{2}-2x=-1 <=> y^{2} -2(-2-y)=-1 <=> y^{2}+4+2y=-1 [/latex][latex]<=> (y+1)^{2}+3=-1[/latex] <=> [latex]( y+1)^{2} =-4[/latex](Imposibil). Deci acest caz nu admite solutii. SOLUTIE: x=y=1.

p1) ----- [latex]2^{x^{2}-2y }+ 2^{y^{2}-2x }=1 \ ext{Daca adunam 2 puteri ale lui 2 si obtinem 1, avem 2 variante: } \ V_1 \ 2^{0} + 2^{-infty} = 1 + 0 = 1 \ V_2 \ 2^{-1} + 2^{-1} = frac{1}{2} + frac{1}{2}=1 \ ext{Prima varianta nu poate fi o solutie} \ ext{Ne ocupam de varianta a 2-a} \ x^{2} -2y=-1 \ y^{2}-2x=-1 \ ext{Rezolvam prin substitutie, pe care o obtinem din prima ecuatie:} \ x^{2} +1 = 2y ;;=> ;substitutia;;; y= frac{x^{2} +1}{2}[/latex] p2) ----- [latex] ext{il inlocuim pe y in ecuatia a 2-a} \ y^{2}-2x=-1 \ (frac{x^{2} +1}{2})^{2}-2x=-1 \ \ frac{(x^{2} +1)^{2}}{4}=2x-1 \ \ (x^{2} +1)^{2}=4(2x-1) \ x^{4}+2 x^{2} +1=8x-4 \ x^{4}+2 x^{2} +1-8x+4=0 \x^{4}+2 x^{2} -8x+5=0 \ ext{Expresia };; (x^{4}+2 x^{2} -8x+5) \ se;descompune;in;;;(x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5) \ =>ecuatia: \ (x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5)=0[/latex] p3) ----- [latex] ext{Rescriem ecuatia:} \ (x-1)(x-1)( x^{2} +2x+5)=0 \ x^{2} +2x+5=0 ;;; ext{aceasta ecuatie nu are solutii reale} \ \ x-1=0 \ x=1;;;;; ext{doua solutii egale} \ ext{Ne intoarcem la substitutie:} \ \ y= frac{x^{2} +1}{2}= frac{1^{2} +1}{2}= frac{2}{2} =1 \ ext{Solutia problemei este:} \ x=1 \ y=1[/latex]